【大学入試 数学】2023年京都大学入試問題 注目の問題を解説！発想の柔軟性が問われる！

こんにちは、四谷学院の数学担当、鈴木です。今回は、2023年度の京大入試から、注目すべき数学の問題をとりあげて解説してみようと思います。
京大志望の方もそうでない方も、一緒に解いてみましょう。

2023年京大入試　数学の問題

次の式の分母を有理化し、分母に3乗根の記号が含まれない式として表せ。

【文系用問題より 第１問 問2】

文系用の問題です。
京大文系数学では例年大問5題が出題されますが、今年度は第1問が問1と問2の無関係な問題で構成されていました。上の問題は第1問の問2にあたります。
問題を解く上で必要な知識はｎ乗根の意味だけですから、数学Ⅱ「指数関数・対数関数」を学習した高校1年生2年生なら取り組むことができます。

解説

「有理化」と言われれば、次のような変形を思い浮かべますよね。

なので、この問題でも
「分子と分母になにか同じものをかけて、分母から根号を消せばいいんだな」
と思う…のですが、さて何をかければいいのだろうと考えると、ちょっと見当がつかないですよね。3乗根がうまく消せる展開式が思いつければいいのですが、入試本番という時間の限られた状況ではなかなか厳しかったのではないかと思います。

ここで、発想の柔軟性が問われます。「有理化するために分子と分母に何か同じものをかける」のは、あくまで「分母から3乗根を消す」ための手段であって目的ではありません。うまい手段が思いつかないのなら、最終的な目標から解答を逆算すればよいのです。分母に含まれている3乗根は

で、

ですから、有理化した後に残っているのもこれらだろう、と予想できますよね。

解答

まとめ：2023年京都大学入試問題 注目の問題を解説！

京都大学の数学では、今回紹介したような「類題を解いた経験がないであろう問題」がしばしば出題され、解法暗記に頼らず自力で解法を導き出す力が要求されます。
京都大学の数学を攻略するために、パターンを暗記するだけでは得られない本質的な数学力をしっかりと鍛えておきましょう。

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