あのバーゼル問題が大学入試に登場！

こんにちは、四谷学院の岩佐です。

あなたは「バーゼル問題」を知っていますか？
地球温暖化問題やエルサゲート問題・・・の「問題」ではありません。

バーゼル問題とは、数学の有名な古典的ともいえる問題で、解くのにおよそ100年もかかった問題です。この問題を解決したオイラー氏は多くの分野で業績を残した大数学者で、「オイラー」の名前のつく定理や公式も多数あり、「聞いたことある！」という方もいるかもしれませんね。

さて本題。この「バーゼル問題」が大学入試に出題されました。

こちらがバーゼル問題です。
平方数の逆数を限りなく足し合わせたときの収束先は？

というわけです。大数学者オイラーの答えは以下のとおり。

左辺には円周率が登場する気配がかけらもないのに、突如としてがあらわれるところが美しいですね。

「バーゼル問題」を解くには通常、大学で学ぶ数学を道具に用います。
これを高校の数学Ⅲまでの範囲で解けるようにした問題が、今年の東海大学医学部で出題されました。

その解法の中心部分を抜き出して解説してみましょう。
かなり長いので、気合を入れて式を追いかけてください。

どうでしょう。さすがに筋道が長くて大変ですね。
いささか出題者が趣味に走った感が無きにしも非ず、というところですが、直接和を計算することができないような級数に対して、不等式をうまく活用してその極限を計算する、というテクニックは入試でしばしば現れます。